Mi madre es licenciada en historia y profesora de vocación. Dice que es de letras. Pero no me lo creo. A ella le gustan las mates, pero según dice: “las mates me superaron cuando llegaron las derivadas”. Yo le digo: “Mare, casi que a lo mejor te perdiste antes”. Es decir, a lo mejor lo que no entendió mi madre fueron las funciones. Y lo bueno es que ella sabe aplicar la regla de 3 muy bien. ¿Sabes que cuando aplicas la regla de 3 estás dibujando una función matemática?
Así que hoy voy a ayudar a mi madre, y espero que a ti, a ilustrar la idea de función con la ayuda de la famosa regla de 3. Vamos a desmitificar la idea aburrida de la f(x). Venga vamos a ello.
# Empieza por una función fácil: ¿Cuántos metros son X km’s?
La función es un concepto que está por todas partes. En estadística, en cálculo, en el propio análisis de datos, y en nuestro día a día. Tenemos que convivir y sacar lo mejor de las funciones.
Te voy a poner un ejemplo muy sencillo. ¿Cuántos metros son 1 km? Respuesta fácil: 1000 metros son 1 km. ¿Sabes que acabas de definir una función? Sí, sí… Una función muy muy simple. Una función lineal.
La gracia de la función es que va a responder a la siguiente pregunta. ¿Cuántos metros son X km’s? X significa cualquier cantidad de km’s. Ésta es la función:
1.000·X
Y la famosa f(x) significa función de X. Es decir que la cantidad de metros depende de los km’s que has recorrido (X). (que es lo mismo que decir que los metros van en función de los km)
- y : los metros que recorres (variable)
- x: los km que has recorrido (variable predictora)
- y = f(x) = los metros en función de los km’s.
- y = 1000·X >> y es función de X >> y = f(x)
Es decir que por cada 1 km recorres 1000 metros. Parece una chorrada de función. Pero cuando el problema se complica, una función tiene mucha importancia. Es una manera de responder a una pregunta genérica.
Gráficamente es algo así:
Fíjate que es una recta, y además una función. Una variable depende linealmente de la otra. Por cada 1 km haces 1000 metros. Y eso es precisamente la pendiente de la recta.
Esta recta matemáticamente se escribe así:
y = m·X
m es la pendiente. Es el factor de cambio de metros a km’s (en el fondo es un índice de crecimiento y también es una derivada… pero lo dejaré para otro día 😉 )
# La regla de 3 es la función matemática más famosa de todos los tiempos
La función que acabas de ver: y = 1000·X es la mítica regla de 3. ¿Te lo crees?
Es la recta más simple, es la recta que pasa por el (0,0). Es una proporción…. Si si. Cuando aplicas una regla de 3 estás dibujando mentalmente la función que has visto antes. Fíjate:
1 km —> 1000 m
55 km —> Y m
¿Esto se multiplicaba en cruz verdad? Tienes…
Y · 1 = 1000 * 55 → Si en lugar de 55km le pones X (que significa en general)… ¡lo tienes! Y = 1000·X
# ¿Sabes que los factores de conversión también se pueden representar con la función más simple?
Los factores de conversión sirven para cambiar las unidades. Como has hecho con los km’s a metros.
55 km·1000m /1km
Fíjate que estás haciendo lo mismo que la regla de 3 o la función lineal.
En el fondo ya sabías que era una función. Una regla de 3 o un factor de conversión es una función lineal. Pero es la función lineal más simple. Cruza por el (0,0).
La recta en general no tiene por qué cruzar por el (0,0), tiene otra pinta. Algo así:
y = m·X + n
- m es la pendiente o factor de crecimiento (o derivada)
- n es el valor del eje Y dónde cruza la recta
Por ejemplo en caso de pasar de grados Celcius a Kelvin. Sabemos que 0ºC son 273 grados Kelvin. Ahora tienes una función lineal con pendiente 1 y cruza en el eje vertical en el 273. Gráficamente tiene una pinta así:
Fíjate que no cruza en el (0,0) si no en el 273. La función lineal tiene esta pinta:
- K : grados Kelvin (variable)
- C: grados Celcius (variable predictora)
- K = f(C) = los grados Kelvin en función de los grados Celcius
K(C) = C+273
Intenta aplicar la regla de 3, ya verás como no se cumple 😉 . Prueba con:
298 K —> 25ºC
303 K —> XºC
Es una función lineal, pero no se puede aplicar la regla de 3 porque la función no pasa por el (0, 0), es decir, no se cumple que 0ºC sean 0 K.
¡Toma! ¿Quieres más?
# “Quiero algo más difícil” Te voy a complicar la vida con una NO lineal
Antes de complicarte la vida. Tú sabes que la longitud de un círculo es 2 veces PI por el radio. Es cómo el perímetro de un círculo. Esto también es una función lineal:
- p : el perímetro del círculo (variable)
- r: el radio de un círculo (variable predictora)
- p = f(r) = el perímetro es función del radio
p(r) = 2PI·r
O lo puedes poner así. Cambias las letras Y por el perímetro, y X por el radio:
Y = f(X) = 2PI·X
Es otra vez una función lineal. Como antes. Es un factor de conversión o una regla de 3 (porque pasa por el (0,0) 😉 )
Pero qué pasa con el área del círculo. El área del círculo es pi por r al cuadrado. Es una superficie. Es lógico que el radio esté al cuadrado (estás calculando el área)
Tienes:
- S : la superficie del círculo (variable)
- r: el radio del círculo (variable predictora)
- y = f(x) = la superficie en función del radio
S = S(r) = pi·r^2
La respuesta a resolver es ¿qué superficie tengo con un radio R?
Y esto NO es una regla de 3. NO es una función lineal que pasa por el (0,0). Aquí tienes dependencia NO LINEAL. El radio está al cuadrado (r^2). Una imagen vale más que 1.000 palabras:
¿Ves que ahora no tienes una recta? Es una dependencia ¡¡¡NO LINEAL!!! (esto me costó entenderlo en su día)
Aplica la regla de 3 y a ver si se cumple la función. Vas a ver enseguida que no.
# Para acabar… para qué sirve la función?
La función es una herramienta para responder preguntas en general. No contesta preguntas particulares como: ¿cuántos metros has recorrido en 55 km’s? o ¿cuánto vale la superficie de una mesa circular de radio 60 cm? Responde a preguntas cómo:
- Cuántos km recorres en X metros
- Cuánto es el perímetro de un círculo de radio R
- Cuánto es la superficie de un círculo de radio R
- ….
Son leyes que te montas para responder preguntas genéricas. Siempre tienes una variable que depende de la otra.
Las más famosas son las funciones lineales más simples (que pasan por el (0,0)) o las reglas de 3 famosas.
Pero puede haber funciones mucha más complicadas o NO LINEALES (como la función del área del un círculo)
Y por qué te explico esto. Por dos motivos:
- Para ayudar a mi madre a entender qué es una función y después le podré explicar qué es una derivada y una integral (y también a ti)
- Para introducirte en el mundo de la función lineal y la dependencia lineal. Sobre todo para entender el concepto de regresión lineal, muy importante en análisis de datos
Foto de portada de F. Antolín Hernández
…
Espero que te haya ayudado a romper un mito. La f(x) ya no debe ser un problema para ti. Ya puedes entender mejor qué es una función lineal y también entender qué haces cuando aplicas la famosa regla de 3.
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