Jugando con dados: la solución del acertijo

¿Quieres ver la solución del acertijo de los dados? Si te acuerdas Chevalier de Meire se preguntaba: ¿Qué es más probable, sacar al menos un seis en 4 tiradas con un solo dado, o sacar al menos un doble seis en 24 tiradas con dos dados? En este post te lo voy a resolver, y de paso te voy a enseñar algunos conceptos de probabilidad. ¿Preparado?

Estas son las dos preguntas del acertijo de Chevalier de Meire:

1. Sacar al menos un 6 con un dado en 4 tiradas
2. Sacar al menos un doble 6 con dos dados en 24 tiradas

Puedes ir directamente a la resolución si tienes poco tiempo pero para entenderlo bien bien te recomiendo que te leas todo el post 😉

# Una breve introducción a la probabilidad

Antes de resolver el acertijo déjame que te muestre una breve introducción de los conceptos relacionados con la probabilidad.

Te quiero introducir 4 conceptos:

1. Experimento aleatorio
2. Resultados elementales
3. Espacio muestral
4. Probabilidad

Utilizaré la primera pregunta del acertijo: ¿qué probabilidad tienes de sacar al menos un 6 con un dado en 4 tiradas?

El experimento aleatorio es lanzar los dados y apuntar en un papel los resultados. Es un experimento real y además aleatorio porque el azar está gobernando el resultado de la tirada del dado.

Los resultados elementales del experimento aleatorio son cada una de las 6 posibles caras de un dado de 6:

El espacio muestral es el conjunto de los posibles valores que puedes sacar con un dado. Es decir, el conjunto de resultados elementales.

La probabilidad es el numerito que indica qué opciones tienes de que salga cada una de las opciones del espacio muestral.

En este caso: es un dado de 1 y tienes las mismas opciones o probabilidad de sacar un 1 que un 6 (si el dado no está trucado). Aquí tienes las probabilidades:

1. Probabilidad de sacar un uno >> >> 16.6%
2. Probabilidad de sacar un dos >> >> 16.6%
3. Probabilidad de sacar un tres >> >> 16.6%
4. Probabilidad de sacar un cuatro >> >> 16.6%
5. Probabilidad de sacar un cinco >> >> 16.6%
6. Probabilidad de sacar un seis >> >> 16.6%

¿Y qué pasa con la segunda pregunta del acertijo? Es ésta: ¿qué probabilidad hay de sacar al menos un doble 6 con dos dados en 24 tiradas?

• El experimento aleatorio: tirar dos dados y apuntar el resultado en un papel
• Los resultados elementales: son cada una de las diferentes parejas de resultados que podemos sacar: hay 36 opciones.
• El espacio muestral será:

• La probabilidad de sacar un doble seis es 1/36. Tienes 36 opciones.

Generalizando a todos los resultados elementales… Tienes resultados elementales cada uno con la misma probabilidad. Igual ya que los dados no están trucados de

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# Las dos propiedades básicas de la probabilidad

En las dos situaciones anteriores, en relación a la probabilidad… Se cumplen dos reglas, y siempre se van  a cumplir:

1. La probabilidad de los resultados elementales siempre es positivo o  igual a cero. Una probabilidad de cero quiere decir que es imposible. Una probabilidad negativa es menos que imposible, lo cual no tiene sentido
2. La suma de la probabilidad de los resultados elementales es 1. La probabilidad total es 1. Es decir, las opciones de sacar el resultado que sea en una tirada con un dado es 1, es obvio, ¿verdad?

# Cuando juegas con probabilidades, define muy bien los sucesos

Es muy importante definir bien los sucesos antes de resolver este tipo de problemas. ¿Pero qué es un suceso?

Buena pregunta. Un suceso es un conjunto de resultados elementales que quieres que se den.

En nuestro caso el suceso es:

“Sacar al menos un 6 en 4 tiradas con un dado”

Podrías pensar en el suceso contrario:

“No sacar ningún 6 en 4 tiradas con un dado”

O podrías pensar en pequeños sucesos:

“No sacar un seis en la primera tirada”

“No sacar un seis en la segunda tirada”

“No sacar un seis en la tercera tirada”

“No sacar un seis en la cuarta tirada”

Es muy importante definir los sucesos que te interesen para resolver el problema.

Espera, espera… no me enrollo más… Si quieres el resultado del acertijo lo tienes más abajo. Pero me interesa que entiendas todo esto antes de resolverlo 😉 

# Las 3 reglas necesarias para resolver el problema

Déjame un poquito más y te resuelvo el acertijo. Lo bueno se hace esperar. Te voy a introducir 3 operaciones de las probabilidades: el producto, la suma y la negación.

Los sucesos te permiten jugar con las probabilidades. Te lo explico con un ejemplo:

E: sacar un 6 en la primera tirada

D: sacar un 4 en la segunda tirada

• EL PRODUCTO: E y D: es el suceso de sacar un 6 en la primera tirada y un 4 en la segunda

(si los sucesos son independientes, es decir que si sale E no puede salir D)

• LA SUMA: E o D: es el suceso de sacar un 6 en la primera tirada o sacar un 4 en la segunda tirada.

• LA NEGACIÓN: NO E: NO sacar un 6 en la primera tirada de dados

# La resolución del acertijo 1: sacar al menos un 6 en cuatro tiradas con un dado.

Puedes sacar 1 seis, 2 seises. O también 3 seises o incluso 4 seises si tienes la suerte de sacar un 6 en cada tirada. Todas estas situaciones cumplen el suceso de la pregunta:

E: sacar al menos 1 seis en 4 tiradas con un dado. Estás buscando la probabilidad 

Plantea los sucesos

¿Qué tal si lo planteas al revés?

NO E: es el suceso de sacar un 6 en 4 tiradas

Para simplificar los sucesos, puedes pensar en estos:

1. O1: es el suceso de no sacar un 6 en la primera tirada.
2. O2: es el suceso de no sacar un 6 en la segunda tirada.
3. O3: es el suceso de no sacar un 6 en la tercera tirada.
4. O4: es el suceso de no sacar un 6 en la cuarta tirada.

Calcula usando las reglas de la probabilidad

• ¿Cuál es la probabilidad de NO sacar un 6 en cualquier tirada?

Es 1 menos la probabilidad de sacar un seis. ¿Te acuerdas de la negación?

P(Oi) = 5/6 = 1- P(sacar un seis)

• ¿Qué probabilidad tienes de NO sacar un seis en las cuatro tiradas?

Es la probabilidad de que los sucesos O1 y O2 y O3 y O4 pasen. Estás aplicando el producto 😉

P(NO E)  = P(O1 y O2 y O3 y O4) = P(O1)· P(O2)· P(O3)· P(O4) = = 0.482

• ¿Qué probabilidad tienes de sacar al menos un 6 en cuatro tiradas.

La probabilidad del evento E: sacar al menos un 6 en cuatro tiradas es el evento contrario del anterior:

P(E) = 1-P(NO E) = 1-0.482 = 0.518

# La resolución del acertijo 2: sacar al menos un doble 6 en 24 tiradas con dos dados.

Lo mismo puedes hacer con el segundo problema. Plantea el suceso que quieres calcular:

E: Sacar al menos un doble 6 en 24 tiradas.

Plantea los sucesos

Lo planteas otra vez al revés para simplificar la resolución

NO E: es no sacar un doble seis en 24 tiradas.

Lo sucesos más simples pueden ser:

• O1: es el suceso de no sacar un doble 6 en la primera tirada.
• O2: es el suceso de no sacar un doble 6 en la segunda tirada.
• O3: es el suceso de no sacar un doble 6 en la tercera tirada.
• …
• O24: es el suceso de no sacar un doble 6 en la tirada 24.

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Calcula usando las reglas de la probabilidad

• ¿Cuál es la probabilidad de NO sacar un doble 6 en cualquier tirada?

El suceso de no sacar un doble seis en cualquier tirada es Oi. En este caso tienes 24 sucesos, uno por cada tirada: O1,…., O24. Pero tienes la misma probabilidad. Tienes 36 opciones del espacio muestral y 35 cumplen el suceso. Entonces:

P(Oi) = 35/36 opciones  de NO sacar doble seis.

• ¿Qué probabilidad tienes de NO sacar un doble seis en las 24 tiradas?

Tienes 24 tiradas, entonces el suceso NO E es O1 Y O2 Y … Y O24. Usando la regla del producto tienes:

P(NO E) = P(O1)·P(O2)· … P(O24) =   = 0.509

• ¿Qué probabilidad tienes de sacar al menos un doble 6 en 24 tiradas.

La probabilidad del evento E: sacar al menos un doble 6 en 24 tiradas es el evento contrario del anterior:

P(E) = 1-P(NO E) = 1-0.509 = 0.491

Estas son las dos probabilidades del acertijo de Chevalier de Meire:

1. 51.8% de probabilidades de sacar al menos un 6 con un dado en 4 tiradas
2. 49.1% de probabilidades de sacar al menos un doble 6 con dos dados en 24 tiradas

Ahora ya sabes por qué Chevalier de Meire perdía más a menudo con la segundo apuesta y cómo su razonamiento no era del todo correcto. Espero que te haya servido para aprender un poquito más del juego de las probabilidades 😉

# ¿Cómo podrías también resolver este problema?

Después de escribir el post me he dado cuenta que se puede resolver el problema de manera mucho más rápido y sin pensar tanto. No hace falta usar tantas leyes de probabilidad y puedes usar distribuciones ya establecidas. 

Te doy una pista, ¿te suena la probabilidad binomial? Te voy a explicar como resolver el acertijo utilizando esta distribución 😛 … Pero en otro post que ya basta por hoy 😉 

…

Y hasta aquí la resolución del acertijo. Es más fácil de lo que parece pero hay que pensar un poquito antes. ¿Te molan los acertijos? ¿Cuéntame cuáles te gustaría que te explicara?